Бір және бірнеше айнымалы функцияның дифференциалдық теңдесі

Дифференциалды есептеу - туынды, дифференциалды және функцияны зерттеуде оларды пайдалануды зерттейтін математикалық талдау бөлімі.

Сыртқы түрі

Дифференциалды есеп айырысу 17-ші ғасырдың екінші жартысында тәуелсіз тәртіпке бөлініп, дифференциалды есепке алуда негізгі ұсыныстарды тұжырымдап, интеграция мен дифференциация арасындағы байланыстарды байқаған Ньютон мен Лейбництің арқасында болды. Осы сәттен бастап пән интегралдарды есепке алуымен бірге дамып, математикалық талдаудың негізін құрады. Олардың пайда болуы математикалық дүниеде заманауи кезеңді ашты және ғылымдағы жаңа пәндердің пайда болуына себеп болды. Сондай-ақ, жаратылыстану ғылымдарында және технологияда математикалық ғылымды қолдану мүмкіндігі кеңейтілді.

Негізгі ұғымдар

Дифференциалды есептеу математиканың негізгі ұғымдарына негізделген. Олар: нақты сан, үздіксіздік, функция және шектеу. Біраз уақыттан кейін олар интегралдық және дифференциалды калькуляция арқасында заманауи көріністі алды.

Жасау процесі

Николай Кузанский құрған философиялық теория пайда болғанға дейін қолданылған, содан кейін ғылыми әдіс түрінде дифференциалдық есептеулерді қалыптастыру. Оның еңбектері ежелгі ғылымның шешімдерінен эволюциялық даму деп есептеледі. Философтың өзі математик емес екеніне қарамастан, оның математикалық ғылымның дамуына қосқан үлесі де мүмкін емес. Кузанский арифметиканы қарастырудан бас тартып, ең дәл ғылым саласы ретінде сол уақыттың математиктерін күмән туғызды.

Ежелгі математиктерде әмбебап критерий бірлік болды, ал философ нақты санның орнына жаңа өлшемді шексіздік ретінде ұсынды. Осыған байланысты, математикалық ғылымда дәлдікті ұсыну инверсивті болып табылады. Оның айтуынша, ғылыми білім рационалды және интеллектуалды болып бөлінеді. Екіншіден, дәлірек айтқанда, ғалымның айтуы бойынша, алғашқы бір ғана нәтиже береді.

Идея

Дифференциалдық есепте негізгі идея мен тұжырымдама белгілі бір нүктелердің кішігірім аудандарындағы функциямен байланысты. Ол үшін белгіленген нүктелердің кішігірім ауданында мінез-құлықтың многоциндік немесе сызықтық функциясының мінезіне жақын функцияны зерттеу үшін математикалық аппарат жасау қажет. Бұл туынды және дифференциалды анықтауға негізделген.

Туынды тұжырымдаманың туындауы табиғи және математикадан туындаған көптеген мәселелерге байланысты болды, бұл бір түрдегі лимиттердің мәндерін анықтауға әкелді.

Жоғары мектептің сыныптарынан бастап, мысал ретінде келтірілген басты міндеттердің бірі тікелей сызықтағы нүктенің жылдамдығын және осы қисық сызыққа тәуелді сызықты құруды анықтау болып табылады. Дифференциал осыған байланысты, өйткені функцияны сызықтық функцияның нүктесінің кішігірім маңайында жақындатуға болады.

Нақты айнымалы функцияның туындысының тұжырымдамасымен салыстырғанда, дифференциалдардың анықтамасы жалпы сипаттың функциясына ауысады, атап айтқанда, бір евклидтік кеңістіктің бейнесін басқа.

Туынды

Нүкте ой осінің бағыты бойымен жылжып, уақытты белгілі бір басынан өлшейтін х орын алайық. Жылжу нүктесінің координатасының әр сәтіне сәйкес келетін y = f (x) функциясы арқылы мұндай қозғалысты сипаттаңыз. Механикадағы бұл функция қозғалыс заңы деп аталуы керек. Қозғалысдың негізгі сипаттамасы, әсіресе біркелкі емес, жылдамдық жылдамдығы. Нүкте механика заңына сәйкес О осі бойымен жылжитын кезде, кездейсоқ уақытта x (x) координатасын алады. Уақытында x + Δx, мұнда Δx уақыттың ұлғаюын білдіреді, оның кадинаты f (x + Δx) болады. Функцияның Δy = f (x + Δx) - f (x) формуласы қалыптасады, бұл функцияның артуы деп аталады. Ол x-дан x + Δx-ға дейін бір уақытта өтетін жолды білдіреді.

Осы жылдамдықтың пайда болуына байланысты, туынды құрал тез арада енгізіледі. Еркін функцияда тіркелген нүктеде туынды деп лимит деп аталады (ол болған жағдайда). Белгілі таңбалармен белгіленуі мүмкін:

F '(x), y', ι, df / dx, dy / dx, Df (x).

Туынды есептеулер процесі дифференциация деп аталады.

Бірнеше айнымалы функцияның дифференциалды есептелуі

Есептеу әдісі бірнеше айнымалы функцияны зерттеуде қолданылады. Х және у айнымалылардың қатысуымен, А нүктесіндегі x-ге қатысты ішінара туынды, осы функцияның тіркелген y-ге қатысты туындысы деп аталады.

Келесі таңбалармен белгілеуге болады:

F '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x немесе ∂f (x, y) '/ ∂x.

Қажетті дағдылар

Диффузияны табысты меңгеру және шешу үшін интеграция және дифференциация дағдылары қажет. Дифференциалдық теңдеулерді түсінуді жеңілдету үшін, туынды және субфективті интегралдың тақырыбын жақсы түсіну керек . Сондай-ақ, анық емес функцияның туындысын іздеуді үйренуге де зиян келтірмейді. Мұны оқу процесінде жиі интегралдарды және дифференциацияны қолдану қажет.

Дифференциалдық теңдеулер түрлері

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерге қатысты барлық бақылау жұмыстарында іс жүзінде теңдеулердің 3 түрі бар: біртекті, бөлінетін айнымалылар, сызықты емес біртекті емес.

Сондай-ақ, теңдеулердің сирек сорттары бар: толық дифференциалмен, Бернулли теңдеулері және басқалары.

Шешім негіздері

Алдымен, мектептен алгебралық теңдеулерді есте сақтау керек. Олар айнымалы және сандардан тұрады. Кәдімгі теңдеуді шешу үшін осы шартты қанағаттандыратын сандар жиынтығын табу қажет. Әдетте, мұндай теңдеулер бір тамырға ие болды, және дұрыстығын тексеру үшін, осы мәнді белгісіз орынға ауыстыру қажет болды.

Дифференциалдық теңдеуі бұған ұқсас. Тұтастай алғанда, бұл бірінші ретті теңдеу мыналарды қамтиды:

• Тәуелсіз айнымалы.
• Бірінші функцияның туындысы.
• Функция немесе тәуелді айнымалы.

Кейбір жағдайларда, x немесе y белгісіз біреуі болмауы мүмкін, бірақ бұл маңызды емес, себебі шешім мен дифференциалды есептеу дұрыс болатындықтан, жоғары туындылардың туындылары жоқ бірінші туынды болуы керек.

Дифференциалдық теңдеуді шешу үшін берілген өрнекке сәйкес келетін барлық функциялардың жиынтығын табу керек. Мұндай функциялар жиынтығы DW жалпы шешім деп аталады.

Интегралды есептеу

Интегралды есептеу - интегралдың тұжырымдамасын, оның қасиеттерін және есептеу әдістерін зерттейтін математикалық талдау бөлімдерінің бірі.

Жиі интегралдың есептеуі қисық сызықтың ауданын есептеу кезінде орын алады. Бұл ауданда берілген санға жазылған көпбұрыштың ауданы бірте-бірте өз жағын ұлғайтуға мүмкіндік беретін шектеуді білдіреді, ал жағы кез-келген ертеректегі кез келген кішігірім мәннен аз орындалуы мүмкін.

Еркін геометриялық фигураның ауданын есептеудегі негізгі идея - тікбұрыштың ауданын есептеу, яғни оның ауданы ұзындығы мен еніне тең екендігін дәлелдеу. Геометрия туралы айтатын болсақ, онда барлық құрылымдар сызғыш пен компас арқылы жасалады, содан кейін ұзындығы енге қатынасы ұтымды мән болып табылады. Төртбұрышты үшбұрыштың ауданын есептегенде, сол жанындағы үшбұрышты қойсаңыз, тікбұрыш пайда болады. Параллельограммада аумақ ұқсас, бірақ сәл күрделенген әдіс арқылы тікбұрышты және үшбұрыш арқылы есептеледі. Полигондарда облыс оған енетін үшбұрыштар арқылы есептеледі.

Еркін қисықтың мейірімділігін анықтаған кезде бұл әдіс жұмыс істемейді. Егер сіз оны бір квадратқа бөлсеңіз, онда бос орын болмайды. Бұл жағдайда жоғарғы және төменгі тіктөртбұрыштары бар екі қақпақты қолдануға тырысыңыз, нәтижесінде олар функционалды графикті қамтиды және қосылмайды. Маңызды - бұл тіктөртбұрышты бұзу тәсілі. Сонымен қатар, егер біз одан да көп бұзылулар жасасақ, жоғарыдан және төменнен жоғарыдағы аудан белгілі бір мәнге жақындауы керек.

Төртбұрыштарға бөлу әдісіне оралу керек. Екі танымал әдіс бар.

Риман Лейбниц пен Ньютон жасаған интегралдың субграфия аймағы ретінде анықталған. Бұл жағдайда сегментті бөлу арқылы алынған тік тікбұрыштардың санынан тұратын сандарды қарастырдық. Осындай фигураның ауданы азайған бұзылудың төмендеуіне шектеу болған кезде, бұл шектеу функцияның берілген аралықтағы функцияның Рим интегралы деп аталады.

Екінші әдіс - доменді интегралдың бөліктеріне бөлу үшін интервалдарға ауқымдарын бөлуді және одан кейін осы бөліктерде алынған мәндерден интегралды соманы құрастыруды және одан кейін осы интегралдардың примацияларының тиісті шараларымен жинақталуын құрайтын Лебег интегралын құру.

Қазіргі артықшылықтар

Дифференциалды және интегралды есептеулерді зерттеудің негізгі нұсқауларының бірі Fichtenholz - «Дифференциалды және интегралды есептеудің бағыты» жазылған. Оның оқулығы математикалы талдауды зерттеуде іргелі көмек болып табылады, ол көптеген басылымдар мен басқа тілдерге аударылған. Ол университет студенттері үшін құрылды және ұзақ уақыт бойы әртүрлі оқу орындарында негізгі оқу құралдарының бірі ретінде пайдаланылды. Теориялық деректер мен тәжірибелік дағдыларды береді. Ол алғаш рет 1948 жылы жарық көрді.

Функцияларды зерттеу алгоритмі

Дискретті есептеу функциясының әдістерін зерттеу үшін, бұрын анықталған алгоритмді орындау қажет:

1. Функцияның доменін табыңыз.
2. Берілген теңдеудің тамырын табыңыз.
3. Экстреманы есептеңіз. Ол үшін туынды және нөлге тең нүктелерді есептеңіз.
4. Алынған мәнді теңдеуге ауыстырамыз.

Дифференциалдық теңдеулердің алуан түрлері

Бірінші кезектегі Д.У. (басқаша айтқанда, бір айнымалы дифференциалдық есеп) және олардың түрлері:

• Бөлу айнымалысы бар теңдеу: f (y) dy = g (x) dx.
• Қарапайым теңдеулер немесе бір айнымалы функцияның дифференциалды есептеуі формулаға ие: y '= f (x).
• Бірінші ретті сызықты біркелкі емес DN: y '+ P (x) y = Q (x).
• Бернулли дифференциалдық теңдеуі: y '+ P (x) y = Q (x) y ^a .
• Жалпы дифференциал теңдеуі: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер және олардың түрлері:

• Екінші ретті сызықты біртекті дифференциалдық теңдеуі коэффициенттің тұрақты мәндерімен: y ⁿ + py 'qy = 0 p, q R тиесілі.
• Екінші ретті сызықты біркелкі емес дифференциалдық теңдеулер коэффициенттерінің тұрақты мәнімен: y ⁿ + py 'qy = f (x).
• Сызықты біртекті дифференциалдық теңдеу: y ⁿ + p (x) y '+ q (x) y = 0 және екінші ретті біркелкі емес теңдеуі: y ⁿ + p (x) y' + q (x) y = f (x).

Жоғарғы тапсырмалардың дифференциалдық теңдеулері және олардың түрлері:

• F (x, y ^(k) , y ^{(k + 1)} , .., y ⁽ⁿ⁾ = 0 кезіндегі азаю тәртібін беретін дифференциалдық теңдеулер .
• Жоғары ретті сызықтық теңдеу біртекті: y ⁽ⁿ⁾ + f _(n-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0 және біркелкі емес: y ⁽ⁿ⁾ + f _{(n -1)} y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x) .

Дифференциалдық теңдеуі бар мәселені шешу қадамдары

DU көмегімен математикалық немесе физикалық сұрақтар ғана емес, сонымен қатар биология, экономика, әлеуметтану және басқа да көптеген мәселелер шешіледі. Көптеген тақырыптарға қарамастан, осындай проблемаларды шешуде бірыңғай логикалық дәйектілікке сүйену керек:

1. ДМ құрастыру. Ең қателіктерді талап ететін ең қиын кезеңдердің бірі, себебі кез-келген қате толығымен дұрыс емес нәтижелерге әкеледі. Процесті қозғайтын барлық факторларды ескеру керек және бастапқы шарттарды анықтау керек. Ол фактілерге және логикалық тұжырымдарға негізделуі керек.
2. Құрастырылған теңдеуді шешу. Бұл процесс бірінші нүктеден гөрі қарапайым, себебі ол қатаң математикалық есептеулерді талап етеді.
3. Нәтижелерді талдау және бағалау. Алынған ерітінді нәтиженің практикалық және теориялық маңыздылығын анықтау үшін бағалануы керек.

Медицинада дифференциалдық теңдеулерді қолданудың мысалы

Эпидемиологиялық математикалық модельді құру кезінде медицина саласында ДМ-ды қолдану кездеседі. Сонымен қатар, бұл теңдеулердің биология және химия ғылымдарында жақын екендігін ұмытпау керек, өйткені ол әртүрлі биологиялық популяциялар мен адам ағзасындағы химиялық процестерді зерттеуде маңызды рөл атқарады.

Эпидемиямен берілген мысалда оқшауланған қоғамда инфекцияның таралуын қарастыруға болады. Тұрғындар үш түрге бөлінеді:

• Инфекция жұқтырған, әрқайсысы жұқпалы (инкубациялау мерзімі қысқа) жеке тұлғалардан тұратын жұқтырған x (t).
• Екінші түрді жұқтырғандармен байланыста болған кезде уағдаласуға қабілетті y (t) сезімтал адамдар бар.
• Үшінші түрге иммунитеті немесе ауруы салдарынан қайтыс болған (t) сезімтал адамдар кіреді.

Адамдардың саны тұрақты, туу туралы жазбалар, табиғи өлім және көші-қон есепке алынбайды. Негізінде екі гипотеза болады.

Белгілі бір уақыт ішінде ауруға шалдығу пайызы x (t) y (t) болып табылады (болжаулар сандар саны пациенттер мен сезімтал өкілдердің арасындағы қиылысулар санына пропорционалды болғанымен, бірінші жақындаған кезде x (t) y (t), пропорционалды болады Осыған байланысты жағдайлардың саны арта түседі және сезімтал адамдар саны жылдамдықпен азаяды, бұл ax (t) y (t) (a> 0) формуласы бойынша есептеледі.

Иммунитетті немесе қайтыс болған сезімтал адамдар саны bx (t) (b> 0) санына пропорционалды мөлшерде артады.

Нәтижесінде барлық үш көрсеткіштерді ескере отырып, теңдеулер жүйесін құрастыруға және оның негізінде қорытынды жасауға болады.

Экономикадағы мысал

Дифференциалдық есептеу көбінесе экономикалық талдауда қолданылады. Экономикалық талдаудағы басты міндет - функция түрінде жазылған экономиканың көлемін зерттеу. Бұл салықтың ұлғаюынан кейінгі табыстың өзгеруі, міндеттердің енгізілуі, өндірістің өзгеруі кезінде компанияның кірісіндегі өзгерістер, ауыстырудағы қызметкерлердің қандай жабдыққа жаңа жабдықпен алмасуы мүмкін деген мәселені шешу үшін қолданылады. Мұндай сұрақтарды шешу үшін кіріс айнымалылардан байланыс функциясын құру қажет, содан кейін дифференциалды есептеу арқылы зерттеледі.

т.б. максималды өнімділігі ең жоғары табыс, кем дегенде құны және: ол экономикалық салада ең оңтайлы өнімділігін табуға жиі қажет. Әрбір осындай компонент бір немесе бірнеше дәлел функциясы болып табылады. Мысалы, өндірістік еңбек және капитал функциясы ретінде қарастыруға болады. Осыған байланысты, қолайлы мәні табу бір немесе бірнеше айнымалы функцияның максимум немесе минимум табу үшін азайтылуы мүмкін.

Мұндай проблемалар сіз дифференциалдау қажет, ол үшін экономикалық саладағы экстремалды проблемалар, сыныбын жасаңыз. экономикалық индикатор азайту немесе басқа параметрлерін функциясы ретінде барынша қажет кезде аргументтің өсімі нөлге ұмтылады, егер дәлел ұлғаюы қатынасы барынша нүктесі функциясы нөлге ұмтылатын болады. Мұндай көзқарас белгілі бір оң немесе теріс мәнге ұмтылады кезде дәлел арттыру немесе азайту арқылы қалаған бағытқа тәуелді мәні өзгертуге болады, себебі Әйтпесе, көрсетілген нүкте, қолайлы емес. дифференциалдық есептеулері терминология, осы барынша функциясы үшін қажетті жағдайлар оның туынды нөлдік мән екенін білдіреді.

экономикалық көрсеткіштері көптеген факторларға құрады, себебі экономика, бірнеше айнымалы функцияның экстремум іздеу сирек емес проблема болып табылады. Мұндай мәселелер ақ бірнеше айнымалы функциялар теориясы, дифференциалдық есептеу әдісі түсінікті. Мұндай проблемалар жай- және функцияны кішірейтілген, сонымен қатар шектеулер ғана емес қамтиды. Бұл мәселелер математикалық бағдарламалау байланысты, және олар арнайы әзірленген әдістерін көмек, сондай-ақ ғылымның осы саласында негізделген отырып шешіледі.

экономикада қолданылатын дифференциалдық есептеу әдістерін арасында маңызды бөлімі түпкілікті тест болып табылады. Экономикалық салада, мерзімді олардың шекті мәндерін талдау негізінде, айнымалы орындау зерттеу әдістерін жиынтығы жатады және сіз құру көлемін өзгерткенде нәтижелері, тұтыну. туынды немесе бірнеше айнымалы бар жеке туынды болып саналады көрсетуді шектеу.

бірнеше айнымалы дифференциалдық есептеулері - математикалық талдау маңызды тақырып. егжей-тегжейлі зерттеу үшін, сіз жоғары оқу орындарына арналған оқу құралдарын түрлі пайдалануға болады. «Дифференциалдық және интегралдық есептеу.» - ең танымал құрылған Fikhtengol'ts бірі Қанша интегралдар жұмыс істеу дағдыларын болуы айтарлықтай маңызы дифференциалдық теңдеулер шешу үшін атауы. Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеулері бар кезде, шешім оңай болады. , Ол атап өткен жөн болса да, ол сол негізгі ережелерді мынадай. Іс жүзінде, тек жоғары мектепте берілген бұрыннан бар алгоритмі, орындаңыз және жаңа айнымалы енгізу ғана сәл күрделі, дифференциалдық есептеу функциясын зерттеу үшін.