Сызықтық және Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеулер. шешімдер мысалдар

Менің ойымша, біз дифференциалдық теңдеулер ретінде даңқты математикалық құралы тарихымен бастау керек деп ойлаймын. барлық дифференциалдық және интегралдық есептеу сияқты, осы теңдеулер соңында 17 ғасырда Ньютон ойлап болды. Ол төмендегідей бүгін аударуға болады, тіпті шифрланған хабарламаның, соншалықты маңызды, оның ашылуы болды сенген: «. Дифференциалдық теңдеулер сипатталады сипаттағы барлық заңдар» Бұл асыра көрінуі мүмкін, бірақ ол рас. физика Кез келген құқық, химия, биология, осы теңдеулер арқылы сипаттауға болады.

дифференциалдық теңдеулер теориясы дамыту және құру үлкен үлес Эйлер және Лагранж математика бар. Қазірдің өзінде 18-ші ғасырда олар енді аға университет курстарында оқып қандай тауып, дамыған.

дифференциалдық теңдеулер зерттеудегі жаңа кезең Анри Puankare арқасында бастады. кеңістік ғылым және оның қасиеттері - Ол топологиясы іргетасы елеулі үлес қосты кешенді айнымалы функциялар теориясы ұштастыра, бұл «дифференциалдық теңдеулер сапалық теориясы» құрылды.

дифференциалдық теңдеулер қандай?

Көптеген адамдар фраза қорқады «дифференциалдық теңдеулер». Алайда, осы бапта біз егжей-тегжейлі іс жүзінде ол атағын сияқты меніңше күрделі емес, бұл өте пайдалы математикалық құралы мәні баяндалған болады. бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің туралы айту бастау үшін, сіз бірінші мәні бойынша осы анықтамаға байланысты негізгі ұғымдар танысуға тиіс. Ал біз бар дифференциалдық бастайсыз.

дифференциалдық

Көптеген адамдар орта мектептен бастап осы терминді білемін. Алайда, әлі күнге дейін егжей-тегжейлі ондағының. функциясының графигін елестетіп көріңізші. Біз өз сегментінде кез келген түзу болады, мұндай дәрежеде оны арттыруға болады. Ол бір-біріне шексіз жақын екі ұпай аламын. олардың координаттары (х немесе у) арасындағы айырма шексіз болып табылады. Және бұл дифференциалды деп аталады және таңбалар динамикасы, ұдайы (Y дифференциал) және DX (х дифференциалды) тағайындайды отыр. Бұл дифференциалдық түпкі мәні болып табылады және осы мағынасы және негізгі функциясы екенін түсіну маңызды болып табылады.

Ал енді сіз біз дифференциалдық теңдеу ұғымын түсіндіру қажет болады мынадай элементтердi қарастыру керек. Ол - туынды.

туынды

Біз бәріміз мектеп және осы ұғымға естідім керек. өсу немесе функцияның төмендеу қарқыны болып табылады - олар туынды дейді. Алайда, бұл анықтама астам абзал айналады. АҚШ дифференциал туынды шарттарын түсіндіруге тырысайық. бір-бірінен кем емес биіктікте орналасқан екі нүкте, артқы шексіз аралығы функциясына барайық. Алайда, тіпті бұл қашықтық функциясы тыс кейбір құнына өзгерту уақыты. Ал бұл өзгеріс сипаттау және басқаша дифференциал қатынасы ретінде жазылған еді туынды ойлап: F (х) '= DF / DX.

Қазір бұл туынды негізгі қасиеттерін қарастыру қажет. тек үш бар:

1. Туынды сомасы немесе айырмашылық туынды сомасы немесе айырма ретінде ұсынылуы мүмкін: (а + б) + B «, және (AB) = a'-б '' а = '.
2. Екінші меншік көбейту байланысты. Туынды жұмыстар - бір функцияның жұмыстарды сомасы басқа туынды болып табылады: (A * B) * B + A * B '' а = '.
3. (A / B) '=: айырманың туынды мынадай теңдеу ретінде жазуға болады (а' * BA * б) / В ^2.

Барлық осы мүмкіндіктерді Бірінші ретті теңдеулер дифференциалдық шешімдерін іздестіруге арналған ыңғайлы келеді.

Сондай-ақ, жеке туынды бар. біз айнымалылар х және у байланысты Z функциясы, бар делік. Бұл функцияның ішінара туынды есептеу үшін, мысалы, X, біз тұрақты және саралау оңай үшін айнымалы Y қабылдау қажет.

ажырамас

Тағы бір маңызды ұғымы - ажырамас. Шын мәнінде, бұл туынды қарсы болып табылады. Интегралдар бірнеше түрлері бар, бірақ дифференциалдық теңдеулер қарапайым шешімдер, біз ең езбе қажет белгісіз интегралдар.

Сондықтан, ажырамас қандай? ның біз х F кейбір қарым-қатынас бар делік. Біз оған ажырамас алып, функцияны бастапқы функцияның туынды болып F (х) (ол жиі қарабайыр деп аталады), алу. Сондықтан F (х) '= F (х). Бұл сондай-ақ туынды ажырамас бастапқы функциясына тең екенін білдіреді.

өте жиі шешімдерді табу үшін оларды қабылдауға тиіс, өйткені дифференциалдық теңдеулерді шешуге ол, интегралды мәні мен функциясын түсіну өте маңызды болып табылады.

теңдеулер, олардың сипатына қарай әр түрлі болып табылады. Келесі бөлімде біз Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер түрлері қарап, содан кейін оларды қалай шешу керектігін үйренеді.

дифференциалдық теңдеулер Сыныптар

Олардың тартылған туынды бұйрығымен бөлінеді «Diffury». Осылайша бірінші, екінші, үшінші және одан да көп тәртібі бар. жай және ішінара: Олар, сондай-ақ бірнеше сынып бөлуге болады.

Осы мақалада біз бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз. біз келесі секциялар бойынша талқылау мысалдар мен шешімдер. ол теңдеулер ең көп тараған түрлері болып табылады, өйткені біз тек TAC қарастыру. Жай кіші бөлінеді: гомогенді және гетерогенді Айнымалылары ажыратылатын, бар. Келесі Сіз олар бір-бірінен өзгеше үйрену және оларды қалай шешу керектігін үйренеді.

кейін біз Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесін алуға Сонымен қатар, осы теңдеулер, аралас болуы мүмкін. Мұндай жүйелер, біз сондай-ақ қарауға және шешуге үйрену.

Неге біз тек бірінші тәртібін қарастырып жатырмыз? бұл қарапайым басталады және барлық дифференциалдық теңдеулер байланысты сипаттау, бұл мүмкін емес бір бапта қажет болғандықтан.

Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер

Бұл, бәлкім, дифференциалдық теңдеулер, ең қарапайым бірінші тәртібі болып табылады. у '= F (х) * F (у): Бұл түрінде жазылуы мүмкін мысалдары болып табылады. у '= Dy / DX: осы теңдеуді шешу үшін біз дифференциал қатынасы ретінде туынды өкілдік формуласын қажет. Dy / DX = F (х) * F (у): онымен біз теңдеу. Енді біз стандартты мысалдар шешу әдісіне айналуы мүмкін: Dy бар бөлігінде барлық айнымалы у яғни жылдам алға, бөліктерінде айнымалылар бөліп, сондай-ақ ауыспалы х жасауға ... Біз нысанын теңдеуін табамыз: Dy / F (у) екі бөліктен интегралдарды ала отырып қол F (х) DX, =. Сіз интеграция кейін қоюға келеді деп тұрақты туралы ұмытпаңыз.

кез келген «diffura» шешу - (біздің жағдайда) у арқылы х функциясы болып табылады, немесе сандық жағдайы бар болса, жауап саны болып табылады. АҚШ-тың нақты мысалы шешім бүкіл барысын қарастырып көрейік:

у '= 2y * күнә (х)

әр түрлі бағытта айнымалылар аудару:

Dy / у = 2 * күнә (х) DX

Енді интегралдар алуға. Олардың барлығы интегралдарды арнайы кестеде табуға болады. Және біз алуға:

Л.Н. (у) = -2 * COS (X) + C

Егер қажет болса, біз «X» функциясы ретінде «Y» білдіре алады. Енді біз шартты егер көрсетілмесе, біздің дифференциалдық теңдеулер, шешіледі деп айтуға болады. көрсетілген жағдайы, мысалы, у (N / 2) = е болуы мүмкін. Содан кейін біз жай ғана шешім осы айнымалылардың мәні алмастыруға және тұрақты мәнін табады. Біздің мысалда, ол 1-ге тең.

Біртекті бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Енді көп күрделі бөлшектер үшін. у '= Z (X, Y): біртекті бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер ретінде жалпы түрінде жазуға болады. у Z X және Z: Бұл екі айнымалы оң функциясы бірыңғай болып табылады, және ол байланысты екіге бөлінді мүмкін емес екенін атап өткен жөн. теңдеу біртекті болып табылады ма немесе жоқ тексеріңіз, өте қарапайым: біз алмастыру х = K * х және у = K * Y құрайды. Енді біз барлық K кесіп. Осы әріптер түсіп жатқан болса, онда теңдеу біртекті және қауіпсіз оны шешу үшін кірісуге болады. Болашақта біз айта: осы мысалдар шешу принципі, сондай-ақ өте қарапайым.

- Сондай-ақ, X байланысты функциясы у = T (X) * х, т: Біз ауыстыруға жасау қажет. Содан кейін біз туынды білдіруге болады: (х) * х + T у '= Т «. Біздің бастапқы теңдеу барлық осы алмастыратын және оны жеңілдету, біз X ретінде айнымалылар т бөлу мысал бар. оны шешу және T (X) тәуелділігін алуға. біз оны алды кезде, жай (х) * х біздің алдыңғы ауыстыру у = Т алмастыруға. Содан кейін біз х у тәуелділігін алуға.

X * Y '= YX *: ол анық жасау үшін, біз мысал түсіну тиіс электрондық у / х.

барлық төмендеуіне ауыстыруды тексеру кезінде. Сондықтан, теңдеу шынымен біртекті болып табылады. Енді тағы бір ауыстыруға жасауға, біз туралы айтып берді: у = T (X) * х және у '= T' (х) * х + T (X). T (X) * х: мынадай теңдеу жеңілдету кейін = -e т. Біз бөлек айнымалы бар үлгісі алуға шешеді және біз ^{алуға: электрондық -t = Л.Н. (C *} х). ^{е -y / X = Л.Н. (:} Біз ғана (у = Т * х болса, онда T у / X =, өйткені), және біз ^жауап алуға у / х Т ауыстыру қажет х * C).

Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу

Ол басқа кең тақырыпты қарастыру уақыты келді. Біз гетерогенді бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз. Олар қалай алдыңғы екі айырмашылығы неде? Ашығын айтайық. теңдеудің жалпы түрінде дифференциалдық теңдеулер, осылайша жазуға болады Бірінші ретті сызықтық: у «+ G (х) * у = Z (X). Ол Z (X) және г (х) тұрақты мәндері болуы мүмкін деп түсіндірді керек.

Міне мысал: у '- * х = у х ^2.

Онда шешу екі жолы бар, және біз олардың екеуі қарастырайық тапсырыс. Бірінші - еркін тұрақтылар вариация әдісі.

Осы жолмен Теңдеуді шешу үшін, ол нөлге бірінші оң жағын теңестіру, және бөлшектерді аудару болып кейін нәтижесінде теңдеуді шешу қажет:

у '= Y * х;

Dy / DX = Y * х;

Dy / у xdx =;

Л.Н. | у | = х ^2/2 + C;

у = е ^{x2 / 2} * ^C у = C ₁ * е ^{x2 / 2.}

Енді ол, біз таба функциясы V тұрақты C ₁ (х), ауыстыру қажет.

у V * электрондық ^{X2 / 2 =.}

ауыстыру туынды Draw:

^{у * е x2 «V = '} / ² -x * V * E ^{x2 / 2.}

Ал бастапқы теңдеу Подставляя бұл көрсетілген:

V '* е ^{x2 / 2} - х * V * E ^{x2 / 2} + х * V * E ^{x2 / 2} = х ^2.

Сіз екі терминдер сол жағындағы төмендейді деп көруге болады. болған жоқ кейбір мысал болса, онда сіз дұрыс нәрсе жасадық. Біз жалғастыру:

V '* е ^{x2 / 2} = х ^2.

Енді біз, сіз айнымалылар бөліп келетін кәдімгі Теңдеуді шешу:

DV / DX = х ^{2 /} е ^x2 / ^2;

DV = х ² * электрондық ^{- x2 / 2} DX.

ажырамас жою үшін, біз мұнда бөліктері интеграцияны қолдануға бар. Алайда, осы баптың тақырыбы болып табылады. Егер сіз мүдделі болсаңыз, мұндай іс-шараларды жүзеге асыру үшін өз біле аласыз. Бұл қиын емес, және жеткілікті шеберлік пен қамқорлық уақыт тұтынатын емес.

Бернулли әдісі: екінші әдісіне Біртекті теңдеулер шешімін сілтеме жасап. Қандай тәсіл тез және оңай - бұл өзіңе тәуелді.

у = K * N: Осы әдісті шешу кезінде Сондықтан, біз ауыстыруға жасау керек. Мұнда, К және N - х байланысты кейбір функциялар. '* У' = K 'N + K * N: Содан кейін туынды сияқты көрінеді. теңдеу екі подстановки алмастырыңыз:

K '* N + K * N + х * K * N = х ^2.

Group дейін:

K '* N + K * ( N + х * N) = х ^2.

Қазір бұл жақшада екенін, нөлге теңестіру қажет. Сіз екі нәтижесінде теңдеулерді біріктіру енді, егер, біз шешілетін Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесін аламыз:

N '+ х * N = 0;

K '* N = х ^2.

бірінші теңдік қалай әдеттегі теңдеуі шешеді. Бұл әрекетті орындау үшін, сіз айнымалылар бөлу үшін қажет:

DN / DX = X * V;

DN / N = xdx.

Біз ажырамас алып, біз алуға: LN (N) = х ^2/2. Содан кейін, біз N білдіру, егер:

N = E ^{x2 / 2.}

Енді екінші теңдеудегі нәтижесінде теңдеуді алмастыруға:

K '* е ^{x2 / 2} = х ^2.

Және өзгертеді, біз бірінші әдісі бірдей теңдеу:

DK = х ^{2 /} е ^x2 / ^2.

Біз сондай-ақ одан әрі әрекет талқылау болмайды. Ол бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер бойынша шешім айтарлықтай қиындықтар туғызады екен. Алайда, тақырыпқа терең тиелген жақсы және жақсы бастады.

дифференциалдық теңдеулер қайда?

физика пайдаланылатын өте белсенді дифференциалдық теңдеулер, сондай-ақ іс жүзінде барлық негізгі заңдар, біз көріп отырмыз, дифференциалдық түрінде жазылған, және сол формулалар болып табылады - осы теңдеулер үшін шешім. химия, олар сол себепті пайдаланылады: негізгі заңдар, олар арқылы алынған. жыртқыш - биология, дифференциалдық теңдеулер сияқты жыртқыш сияқты жүйелердің әрекетін модельдеу үшін пайдаланылады. Олар сондай-ақ, мысалы, микроорганизмдердің колонияларды молайту моделін жасау үшін пайдаланылуы мүмкін.

дифференциалдық теңдеулер өмірінде көмектеседі ретінде?

Бұл сұраққа жауап қарапайым: ештеңе. Егер сіз ғалым немесе инженер болып табылмайтын болса, онда ол олар пайдалы болады екіталай. Алайда, бұл жалпы дамыту үшін шешіледі қандай дифференциалдық теңдеулер және білу зақым емес. ұлы немесе қызы, содан кейін сұрақ, «қандай дифференциалдық теңдеулер?» өлі соңында сізді қоймаңыз. Егер сіз ғалым немесе инженер болса Ал, содан кейін сіз кез келген ғылым осы тақырыптың маңыздылығын біледі. Бірақ, ең бастысы, қазір сұраққа деп «Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу шешу қалай?» Сіз әрқашан жауап бере алатын болады. Егер сіз қандай адам тіпті білуге қорқады түсінгенде, ол әрқашан жақсы, келісесіз.

зерттеу негізгі проблемалары

Осы тақырып түсіну басты проблема интеграция және саралау функцияларын жаман әдет. Сіз туынды және интегралдар ыңғайсыз КӨТЕРМЕЙДІ болса, онда ол, білу үшін интеграция және саралау түрлі әдістерін білу үшін, содан кейін ғана мақалада сипатталған болатын материалды зерттеуге кіріседі, бәлкім, одан да көп тұр.

Кейбір адамдар бұрын (мектепте) фракциясының Dy / DX бөлінбейтін болып табылады деп санайды деп DX, берілуі мүмкін білу үшін таң. Содан кейін сіз туынды бойынша әдебиеттерді оқып және ол теңдеулер шешу үшін айлалы болады шексіз аз мөлшерде қатынасы, екенін түсіну керек.

Бұл жиі функция немесе neberuschiysya ажырамас болып табылады, және бұл қатардағы алдаушылық оларға жағымсыз көп береді - Көптеген адамдар дереу Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер шешу екенін түсіне бермейді.

Тағы нені жақсы түсіну үшін оқыған болады?

емес математикалық мамандықтар студенттеріне арналған математикалық талдау, мысалы, арнайы оқулықтар дифференциалдық есептеулері әлеміне одан әрі тиелген бастау үшін ең жақсы, бұл болып табылады. Сіз одан кейін мамандандырылған әдебиетке жылжытуға болады.

Бұл дифференциалдық қосымша, интегралдық теңдеулер әлі де бар, деп мәлімдеді, сондықтан сіз әрқашан ұмтылу бір нәрсе бар және қандай оқуға болады.

қорытынды

Біз осы мақаланы оқығаннан кейін сіз оларды дұрыс шешу үшін қандай дифференциалдық теңдеулер және қалай туралы түсінік береді деп үміттенеміз.

Кез келген жағдайда, өмірде бізге пайдалы кез келген жолмен математика. Ол қолына жоқ сияқты, онсыз әрбір адам логикасын және көңіл, дамытады.