Дифференциал - бұл не? функцияларының дифференциалдық қалай табуға болады?

туынды бірге олардың функциялары дифференциал - бұл негізгі ұғымдар кейбір дифференциалдық есептеу, негізгі бөлімінде математикалық талдау. Ретінде тығыз, кеңінен ғылыми-техникалық қызмет барысында туындаған барлық дерлік мәселелерді шешуде пайдаланылатын бірнеше ғасырлар олардың екеуі де байланысты.

дифференциалдық тұжырымдамасын пайда

Алғаш рет ол анық (Isaakom Nyutonom бірге) осындай дифференциалдық, негізін қалаушылардың бірі есептеу атақты неміс математигі Готфрид Вильгельм Leybnits дифференциалдық деп жасады. бұл 17 ғасырдың математиктері алдында. функциясы жай бола алмайды бағалайды, ол төмен, өте кішкентай тұрақты мәнді білдіретін, кез келген белгілі функцияның кейбір шексіз «бөлінбейтін» өте түсініксіз және бұлыңғыр идеясын пайдаланылатын, бірақ нөлге тең емес. Сондықтан, бұл функция дәлел және соңғысының туынды тұрғысынан білдірді мүмкін функцияларын олардың тиісті үстемеақылардың шексіз қадаммен ұғымдарды енгізу тек бір қадам болды. Және бұл қадам екі ұлы ғалымдардың жоғарыда бір мезгілде дерлік қабылданды.

Ғылым қарқынды дамушы өнеркәсіп және технология қарсы шұғыл практикалық механика проблемаларын шешу қажеттігіне негізделген, Ньютон және Лейбниц сияқты ұғымдарды енгізу әкелді (әсіресе белгілі траекториясын органының механикалық жылдамдығын ескере отырып) өзгерген ставкасы, функцияларын табу ортақ жолдарын құрылған, туынды функциясы және дифференциал ретінде, сондай-ақ белгілі бір SE (айнымалы) жылдамдығы ажырамас тұжырымдамасын соқты жолын табуға кесіп ретінде алгоритм кері проблема шешімін тапты Ала.

Бірінші, бұл айырмашылық сол пайда Лейбниц және Ньютонның идеясының жұмыстарға - табысты соңғы мәні есептеу үшін қолданылуы мүмкін Δu функцияларды арттырады Δh негізгі дәлел приращения пропорционал. Басқаша айтқанда, олар өсімі функциясы (анықтау, оның домен шегінде) кез келген нүктесінде болуы мүмкін байқаған у оның туынды Δu = 'екі арқылы көрінеді (х) Δh + αΔh α Δh онда - қалған, Δh → ретінде нөлге ұмтылатын нақты Δh қарағанда әлдеқайда жылдам 0.

математикалық талдау негізін қалаушылардың айтуынша, тербелістері - бұл дәл кез келген функцияларды қадаммен бірінші термин. Δu / Δh → у '(х) - Тіпті нақты белгіленген шегі тұжырымдамасы қажетінсіз бірізділік туынды дифференциалдық құны кезде Δh → 0 істеуі ұмтылады деп интуитивті түсінікті.

ең алдымен физикалық есептерді зерттеу үшін көмекші құрал ретінде саналады физик және математикалық аппарат болды Ньютон, айырмашылығы, Лейбниц көрнекі және түсінікті рәміздер математикалық құндылықтар жүйесін, соның ішінде, осы құрал үшін көбірек назар аударды. Ол (х) = Dy / DX олардың қарым-қатынасы у (х) DX, DX және дәлел функциясы туынды «дифференциал функциясы Dy = у стандартты белгілер ұсынды кім ол.

Қазіргі заманғы анықтамасы

Қазіргі заманғы математика тұрғысынан дифференциалды қандай? Бұл айнымалы өсімінің тұжырымдамасын тығыз байланысты. айнымалы у у ₁ = у бірінші мәнді қабылдайды _болса, онда у у _{2 =,} айырмашылық у ₂ ─ у ₁ өсімі мәні у деп аталады. өсімі оң болуы мүмкін. теріс және нөлдік. сөз «өсімі» Δ, Δu жазу тағайындалады ( «Delta Y 'оқып) өсімі у мәнін білдіреді. сондықтан Δu Y ₂ ─ у _{1 =.}

Δh → 0 ұмтылады кезде мән Δu еркін функциясы у = F (х) берілген X үшін Δh, т. Е. A = Const, және мерзімді а туралы ешқандай тәуелділік болып Δu = А Δh + а, сондай-ақ ұсынылуы мүмкін болса ол тіпті тезірек нақты Δh, содан кейін бірінші ( «магистр») қарағанда термин пропорционалды Δh болып табылады, және у = F (х) дифференциалдық арналған, таңбалау Dy немесе DF (х) ( «X бастап де эфф», «у де» оқыңыз). Сондықтан дифференциал - қадаммен Δh функцияларын компоненттеріне қатысты сызықтық «Негізгі».

механикалық түсіндіру

қозғалатын түзу қашықтық - S F (T) = болсын материалдық нүктесін бастапқы күйіне (- жол жүру уақыты T) түскен. Өсімі Δs - уақыт аралығы Т кезінде жол нүктесі болып табылады, және дифференциалдық DS = F - (T) '(T) Т ол жылдамдығы F сақтап, егер нүкте бір мезгілде Т өтетін болады, бұл жолы, «уақыт T қол жеткізілген . Кезде шексіз Т DS ойдан жолы шексіз Т қатысты жоғары тәртібін бар нақты Δs ерекшеленеді. уақыт Т жылдамдығы нөлге тең емес болса, шамамен мән DS шағын тартылысы нүктесін береді.

геометриялық түсіндіру

желісі L у = F (х) график болсын. Содан кейін Δ х = MQ, Δu = QM '(қараңыз. Төменде сурет). Тангенс MN Δu екі бөліктен, QN және Н.М. «кесіңіз бұзады. Бірінші және Δh Qn = MQ тг (бұрышы QMN) = Δh F '(х), т. E Qn Dy дифференциалды болып ∙ пропорционалды.

айырма Δu NM'daet екінші бөлігі ─ Δh → 0 Н.М. ұзындығы 'тіпті тезірек дәлел приращения қарағанда азаяды Dy, ол Δh қарағанда жоғары сәл тәртібі бар, яғни. Бұл жағдайда, F, егер (х) ≠ 0 (параллель емес тангенс OX) сегменттер QM'i Qn балама; басқа сөзбен айтқанда нм «азаюы тез (оның жоғары сәл тәртібі) жалпы өсімінен Δu = QM қарағанда. Бұл суретте (сегмент M'k М NM'sostavlyaet жақындап барлық аз пайыздық QM «сегменті) көрінеді.

Сондықтан, графикалық еркін функциясын дифференциалдық Тангенс ординате приращения тең.

Туынды және дифференциал

өрнек өсімі функциясы бірінші мерзімге факторы оның туынды F '(х) құнына тең. Осылайша, мынадай қатынасы - Dy = F (х) Δh немесе DF (х) = F (х) Δh.

Ол тәуелсіз дәлел өсуі оның дифференциалдық Δh = DX тең екені белгілі. Тиісінше, біз жазуға болады: (х) DX = Dy F '.

туынды сияқты бірдей ережелер бойынша жүзеге асырылады (кейде «шешім» деп) дифференциалдар табу. Олардың тізімі төменде берілген.

көп әмбебап қандай: дәлел өсуі немесе оның дифференциалдық

Бұл жерде кейбір нақтылауға қажет. Өкілдік мән F 'мүмкін Δh (х) дифференциалдық аргумент ретінде X қарастыру. Бірақ функциясы х аргументі т функциясы болуы мүмкін, онда күрделі болуы мүмкін. Содан кейін F дифференциалды білдіру «өкілдігі (х) Δh, әдетте, бұл мүмкін емес; X = кем + B сызықтық тәуелділік жағдайларды қоспағанда.

формуласы F '(х) DX = Dy келер болсақ, онда х т тәуелділігі параметрлік жағдайда тәуелсіз Аргумент х (содан кейін DX = H) жағдайда, ол дифференциалды болып табылады.

X дәлел болған кезде, мысалы, өрнек 2 х Δh у = х ^2, оның дифференциалдық арналған. Біз қазір X = Т ² және Т дәлел болжайды. Содан кейін у = х ² = Т ^4.

Бұл (Т + Т) ² = Т ² + 2tΔt + Т ^{2 жүреді.} Демек Δh = 2tΔt + Т ^2. Демек: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Т ^2).

Бұл өрнек Т пропорционалды емес, сондықтан 2xΔh дифференциалды емес, қазір. Бұл теңдеу у = х ² = Т ⁴ табылуы ^{мүмкін.} Ол = 4t ³ Т тең Dy болып табылады.

біз өрнек 2xdx алатын болсақ, ол кез келген дәлел Т үшін дифференциалдық у = х ^2. Шынында да, қашан х = Т ² DX = 2tΔt алу.

Сондықтан 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, т. Е. екі түрлі айнымалы жазылған өрнек дифференциалдар сәйкес келеді.

қадаммен дифференциал ауыстыру

F Егер '(х) ≠ 0, онда Δu және Dy балама (қашан Δh → 0); F Егер '(х) 0 (мағынасы мен Dy = 0), олар баламалы емес, =.

Мысалы, = х ² у ^болса, онда Δu = (х + H) ² ─ х ² = 2xΔh + Δh ² және Dy = 2xΔh. X = 3 болса, онда біз Δh ² → 0 салдарынан барабар Δu = 6Δh + Δh ² және Dy = 6Δh бар, қашан х = 0 мәні Δu = Δh ² және 0 = Dy барабар емес.

Бұл факт, бірге дифференциалды (м Δh қатысты. Е. Сызықтығы) қарапайым құрылымына, көбінесе шағын Δh үшін Δu ≈ Dy алатындығына, жуықтап есептеу пайдаланылады. Дифференциалдық функция әдетте өсімінің нақты құнын есептеу үшін қарағанда оңай табыңыз.

Мысалы, біз Δh = 0,001 см ұзартуға шетін жылыту туралы. Қалай жоғары көлемі текше V. Edge х = 10.00 см металл текшені бар? DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ¹⁰ ақпан 0/01 = 3 (см ^3), сондықтан ^біз, V = х ^{2 бар.} ΔV = 3 см ³ етіп ΔV балама дифференциалды DV, ^өсті. Толық есептеу = 10,01 ─ ¹⁰ наурыз = 3.003001 ³ ΔV берер еді. Бірақ алдымен сенімсіз басқа барлық сандар нәтижесі; сондықтан, ол 3 см ³ дейін дөңгелектеу үшін әлі де ^қажет.

Әлбетте, бұл тәсіл ол қате дағдыландыру құнын есептеуге мүмкіндік болса ғана пайдалы болып табылады.

Дифференциалдық функция: мысалдар

ның туынды ^табу, функциясы у = х ³ дифференциал табуға тырысайық. АҚШ дәлел приращение Δu беруге және анықтау болсын.

Δu = (H + х) ³ ─ х ³ = 3x ² + Δh (H 3xΔh ² + ^3).

Бірінші термин пропорционалды Δh, басқа мүше 3xΔh Δh ² + ^3, сондықтан Мұнда, коэффициенті A = 3x ² Δh байланысты емес кезде Δh → 0 аргументтің өсімінде қарағанда жылдам азаяды. Демек, 3x ² Δh мүшесі Y = X ³ дифференциалдық болып ^{табылады:}

Dy = 3x ² Δh = 3x ² DX немесе D (X ³⁾ = 3x ² DX.

, Онда D (X ³⁾ / DX = 3x ^2.

Dy Біз қазір туынды арқылы функциясы Y = 1 / х таба. Содан кейін D (1 / х) / DX = ─1 / х ^2. Сондықтан Dy = ─ Δh / х ^2.

Негізгі алгебралық функцияларды төменде келтірілген дифференциалдар.

көмегімен дифференциалдық шамамен есептеулер

функциясы F (х), және оның туынды F 'бағалауға (х) х = жиі қиын, бірақ х = А маңында сол істеу оңай емес. Содан кейін шамамен білдіру көмекке келеді

F (а + H) ≈ е «(а) Δh + F (а).

Бұл оның дифференциалдық Δh F '(а) Δh арқылы шағын қадаммен кезінде функциясының шамамен мәнін береді.

Сондықтан, бұл формула бөлігіне (х = а) бастапқы нүктесінде оның құнының сомасы және сол бастапқы нүктесінде дифференциалдық ретінде ұзындығы Δh бір бөлігін соңы нүктесінде функциясының өрнек үшін жуықталған береді. Төменде функциясының мәндерін анықтау үшін әдісінің дәлдігі сызбасын көрсетеді.

Алайда белгілі және (немесе баламалы, Лагранж формуласы) формуласы ақырғы қадаммен берген функциясы х = а + Δh құнының нақты өрнек

F (а + H) ≈ е «(ξ) Δh + F (а),

оның нақты позиция белгісіз, дегенмен онда х = а + ξ нүктесі, бұл х = а + Δh үшін = X аралығында болып табылады. дәл формула шамамен формула қате бағалауға мүмкіндік береді. ол дәл болуды тоқтатқан, бірақ, әдетте, дифференциалдық тұрғысынан бастапқы білдіру қарағанда әлдеқайда жақсы тәсіл береді, дегенмен, біз, Лагранж формуласы | ь = Δh / 2 салып болса.

дифференциал қолдану арқылы бағалау формулалар қате

Өлшеу құралдары негізінен, дәл және қате тиісті өлшеу деректерге әкеледі. Олар шектеу сипатталады абсолюттік қате, анық абсолютті құны (немесе ең оған тең) бойынша қате асатын, оң - қысқа, шегі қате, немесе. Шектеу салыстырмалы қатені өлшенген құнының абсолютті мәні оны бөлу жолымен алынған фактор деп аталады.

Y vychislyaeniya үшін пайдаланылатын нақты формуласы у = F (х) функциясы болсын, бірақ х мәні өлшеу нәтижесі болып табылады, сондықтан у қатені әкеледі. Содан кейін, формуланы пайдалана отырып, шекті абсолютті қатені │Δu│funktsii у таба

│Δu│≈│dy│ = │, (х) ││Δh│ «F

онда │Δh│yavlyaetsya шекті қате дәлел. │Δu│ саны ретінде, жоғары дөңгелектенеді тиіс дәл есептеу өзі дифференциалды есептеу өсімінің ауыстыру болып табылады.