Тұрақты көпбұрыш. Тұрақты көпбұрыш жағының саны

Үшбұрыш, шаршы, алтыбұрыш - бұл сандар әрқайсымызға белгілі. Бірақ, көпқабатты полигонның не екенін білмейді. Бірақ бұл барлық геометриялық фигуралар. Тұрақты көпбұрыш - бірдей бұрыштары мен жақтары бар. Мұндай сандар көп, бірақ олардың барлығы бірдей қасиеттерге ие және сол формулалар оларға қолданылады.

Тұрақты полигондардың қасиеттері

Кез-келген тұрақты полигон, яғни шаршы немесе сегіз бұрыш, шеңберге жазылуы мүмкін. Бұл негізгі қасиет пішін салу кезінде жиі қолданылады. Сонымен қатар, шеңберді полигонға да жазуға болады. Бұл жағдайда байланыс нүктелерінің саны оның жағына тең болады. Тұрақты полигонда жазылған шеңбердің ортақ орталығы болуы маңызды. Бұл геометриялық фигуралар бір теоремаға бағынады. Тұрақты n-гонның кез-келген жағы айналадағы айналма шеңбердің радиусымен байланысты, сондықтан оны келесі формула бойынша есептеуге болады: a = 2R ∙ sin180 °. Шеңбердің радиусы арқылы сіз жақтарды ғана емес, көпбұрыштың периметрін де таба аласыз.

Тұрақты көпбұрыштың санын қалай табуға болады?

Кез-келген жүйелі n-гон бір-бірімен біріктірілген жабық сызықтарды біріктіретін бірнеше тең сегменттерден тұрады. Бұл жағдайда қалыптасқан фигураның барлық бұрыштары бірдей мәнге ие. Көпбұрыш қарапайым және күрделі болып бөлінеді. Бірінші топқа үшбұрыш пен шаршы кіреді. Кешенді көпбұрыштардың көп жағы бар. Олар сондай-ақ стеллафтар сандарын қамтиды. Кешенді тұрақты полигондар үшін оларды шеңберге жазуға болады. Біз дәлелдеме береміз. Тұрақты полигонды сызықтардың еркін санымен салыңыз n. Оның айналасындағы шеңберді сипаттаңыз. Р радиусын көрсетіңіз. Енді кейбір n-gon берілді деп елестетіңіз. Егер оның бұрыштарының нүктелері шеңберге жатса және бір-біріне тең болса, онда тараптардың формуласы бойынша табылуы мүмкін: a = 2R ∙ sinα: 2.

Жазылған оң жақ үшбұрыштың санын анықтау

Теңселік үшбұрыш - тұрақты полигон. Формулалар квадратқа және n-гонға ұқсас қолданылады. Үшбұрыш жағы бойымен бірдей ұзындыққа ие болса, дұрыс деп саналады. Бұрыштар 60 тең. Біз үш жақты үшбұрышты саламыз. A. Оның ортасы мен биіктігін біле отырып, оның тараптарының маңыздылығын білуге болады. Мұны істеу үшін біз a = x: cosα формуласы арқылы іздеу әдісін пайдаланамыз, мұндағы х - медиана немесе биіктік. Үшбұрыштың барлық жағы бірдей болғандықтан, a = b = c аламыз. Сонда келесі бекіту бекітіледі: a = b = c = x: cosα. Сол сияқты, бүйірлік жақтың үшбұрыштағы мәнін табуға болады, бірақ x биіктігі болады. Бұл жағдайда оны фигураның негізінде қатаң түрде жобалау керек. Осылайша x биіктігін біле отырып, a = b = x: cosa формуласы арқылы изосцель үшбұрышының бүйірін а деп табамыз. A мәнін тапқаннан кейін, базаның ұзындығын есептей аламыз. Біз Пифагор теоремасын қолданамыз. Біз базаның жартысының мәнін іздейміз: 2 = √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) = √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α = x ∙ tgα. Сонда c = 2xtgα. Осы қарапайым жолмен кез келген жазылған көпбұрыштың санын таба аласыз.

Шеңберге жазылған квадраттың бүйірлерін есептеу

Кез келген басқа жазылған тұрақты полигон сияқты, квадрат тең жағы мен бұрыштары бар. Үшбұрышқа қатысты сол формулалар қолданылады. Квадраттың жағын диагональды мәннен есептеп шығарыңыз. Бұл әдісті толығырақ қарастырайық. Диагональ бұрышты екіге бөлетіні белгілі. Бастапқыда оның мәні 90 градус болды. Осылайша, бөлінгеннен кейін екі бұрышты үшбұрыш пайда болады. Негізіндегі бұрыштар 45 градусқа тең болады. Тиісінше, квадраттың әр жағы тең болады, яғни a = c = c = q = e ∙ cosα = e√2: 2, мұндағы e - квадраттың диагоналы немесе бөлімнен кейін қалыптасқан оң жақ үшбұрыштың негізі. Бұл квадраттың жағын табудың жалғыз жолы емес. Бұл суретті шеңберге жазамыз. R шеңберінің радиусын біле отырып, біз шардың жағын табамыз. Оны келесідей есептеп шығарамыз: a4 = R√2. Тұрақты полигондардың радиусы R = a: 2tg (360 ^o: 2n) формуласы бойынша есептеледі, мұндағы a - жақтың ұзындығы.

N-gon периметрін қалай есептеу керек

Н-гонның периметрі оның барлық жағынан тұрады. Есептеу қиын емес. Мұны істеу үшін сіз барлық тараптардың мағынасын білуіңіз керек. Көпбұрыштың кейбір түрлерінде арнайы формулалар бар. Олар периметрді жылдамырақ табуға мүмкіндік береді. Кез келген тұрақты полигонның тең жағы бар екені белгілі. Сондықтан, оның периметрін есептеу үшін олардың кем дегенде бірін білу жеткілікті. Формула фигураның бүйірлік санына байланысты болады. Жалпы алғанда, бұл көрінеді: P = a, мұндағы a - бүйірлік мән, n - бұрыштардың саны. Мысалы, 3 см қалыңдығы бар қалыпты сегіз бұрыштың периметрін табу үшін оны 8, яғни P = 3 ∙ 8 = 24 см-ге дейін көбейтіңіз, 5 см қалыңдығы бар алтыбұрыш үшін P = 5 ∙ 6 = 30 см есептеңіз. Әр полигоннан.

Параллелограмм, шаршы және ромбтың периметрін табу

Тұрақты көпбұрыштың қанша тарапынан байланысты, оның периметрін есептейді. Бұл тапсырманы айтарлықтай жеңілдетеді. Өйткені, басқа фигуралардан айырмашылығы, бұл жағдайда сіз оның барлық жағын ғана іздемеудің қажеті жоқ. Сол принцип бойынша біз төртбұрыштың периметрін, яғни квадрат пен ромбты табамыз. Олар әр түрлі сандарға қарамастан, олар үшін формула P = 4а, мұнда a - бұл жағы. Мысал келтірейік. Алмаз немесе шаршы жағы 6 см болса, периметрді келесі жолмен табамыз: P = 4 ∙ 6 = 24 см Параллелограммада тек қарсы жақтары тең. Сондықтан, оның периметрі басқа әдіс арқылы табылған. Мәселен, суреттің ұзындығын және енін білуіміз керек. Сонда біз P = (a + b) ∙ формуласын қолданамыз. Барлық жақтары мен бұрыштары тең болатын параллельограмма ромба деп аталады.

Теңкелік үшбұрыштың және оң жақ үшбұрыштың периметрін табу

Тұрақты тең жақты үшбұрыштың периметрін P = 3а формуласы арқылы табуға болады, мұнда a - жақтың ұзындығы. Егер белгісіз болса, оны медиана арқылы табуға болады. Тіктөртбұрышты үшбұрышта тек екі жақ тең мәнге ие. Негізді Пифагор теоремасы арқылы табуға болады. Барлық үш жақтың мәндері белгілі болғаннан кейін, периметрді есептеңіз. Ол P = a + b + c формуласын қолдану арқылы табуға болады, мұндағы a және b тең жақтары, ал c - негіз. Естеріңізге сала кетейік, изосцель үшбұрышында a = b = a, онда a + b = 2a, онда P = 2a + c. Мысалы, үшбұрышты үшбұрыштың жағы 4 см, оның базасын және периметрін табамыз. Пифагор теоремасына сәйкес гипотенузаның мәнін ² = √16 + 16 = √32 = 5.65 см-ге дейін c = √a ² = 2 = 2 ∙ 4 = 5.65 = 13.65 см периметрін есептеңіз.

Тұрақты көпбұрыштың бұрыштарын қалай табуға болады

Тұрақты полигон біздің күнделікті өмірімізде, мысалы, кәдімгі алаң, үшбұрыш, сегіз бұрыш. Бұл суретті өзіңе салудан гөрі ештеңе оңай емес сияқты. Бірақ бұл тек бірінші көзқараста. Кез-келген n-гон құрастыру үшін оның бұрыштарының мәнін білу қажет. Бірақ оларды қалай табуға болады? Ежелгі ғалымдар тіпті тұрақты полигондар салуға тырысты. Олар үйірмен айналдыруды ойлады. Содан кейін олар оған қажетті нүктелерді белгілеп, түз сызықпен байланыстырды. Қарапайым суреттер үшін құрылыс мәселесі шешілді. Формулалар мен теоремалар алынды. Мысалы, Евклид өзінің «Бастамасы» атты белгілі жұмысында 3-, 4-, 5-, 6- және 15-гондарға қатысты мәселелерді шешумен айналысты. Ол бұрыштарды салу мен табу жолдарын тапты. 15 гон үшін мұны қалай істеуге болатынын қарастырыңыз. Алдымен оның ішкі бұрыштарының сомасын есептеу керек. S = 180⁰ (n-2) формуласын қолдану қажет. Сонымен, бізге 15 гон берілді, сондықтан n саны 15-ге тең. Біз формулада белгілі деректерді алмастырамыз және S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ х 13 = 2340⁰ аламыз. Біз 15 гонның барлық ішкі бұрыштарының сомасын таптық. Енді олардың әрқайсысының құндылығын алуыңыз қажет. Жалпы бұрыштар 15. 2340⁰ санау: 15 = 156⁰. Демек, әрбір ішкі бұрыш 156 ° құрайды, енді билеуші мен компас көмегімен 15 гонды дұрыс салуыңызға болады. Бірақ неғұрлым күрделі n-гондар туралы не деуге болады? Ғалымдар ғасырлар бойы бұл мәселені шешуге тырысты. Ол 18 ғасырда тек Карл Фридрих Гаусстан табылған. Ол 65537 гон құра алды. Содан бері бұл мәселе ресми түрде толығымен шешілді.

Радиандардағы n-гондарының бұрыштарын есептеу

Әрине, полигондардың бұрыштарын табудың бірнеше жолы бар. Көбінесе олар градустарда есептеледі. Бірақ оларды радиандарда айтуға болады. Бұны қалай істейді? Келесі қадамдарды жалғастыру керек. Алдымен біз тұрақты көпбұрыштың санын анықтаймыз, содан кейін оны одан шығарып аламыз. Демек, біз маңызы аламыз: n - 2. Н («pi» = 3.14) айырмасын көбейтіңіз. Енді алынған өнімді n-гондағы бұрыштардың санына бөлу ғана қалады. Осы есептеулерді он бес бұрыштық үшбұрыштың мысалында қарастырайық. Сондықтан n саны 15 болады. S = n (n - 2) формуласын қолданайық: n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Бұл, әрине, радианның бұрышын есептеудің жалғыз жолы емес. Бұрышы өлшемін градустарда 57.3 санымен бөлуге болады. Өйткені, көптеген дәреже бір радонға тең.

Жылдамдықтағы бұрыштарды есептеу

Градустар мен радиандардан басқа, сіз дөңгелекке тұрақты полиганың бұрыштарын табуға тырысасыз. Бұл келесі түрде жасалады. Бұрыштардың жалпы санынан 2-ні алып тастаңыз, алынған айырмашылықты тұрақты көпбұрыштың тараптарымен бөліңіз. Нәтиже 200-ге көбейтіледі. Айтпақшы, бұршақ өлшемін осындай өлшем бірлігі іс жүзінде қолданылмайды.

N-gons сыртқы бұрыштарын есептеу

Кез-келген тұрақты полигон үшін, ішкі жағынан басқа, сыртқы бұрышты да есептеуге болады. Оның мағынасы сандардың қалған бөлігіндегі сияқты көрінеді. Сонымен, тұрақты көпбұрыштың сыртқы бұрышын табу үшін ішкі полигонның мағынасын білуіңіз керек. Сонымен қатар, бұл екі бұрыштың сомасы әрқашан 180 градус екенін білеміз. Сондықтан есептеуді келесідей атқарамыз: 180⁰ - ішкі бұрыштың мәні. Біз айырмашылықты табамыз. Ол оған жақын жанындағы бұрыштың мәніне тең болады. Мысалы, квадраттың ішкі бұрышы 90 градус, ал сыртқы бұрышы 180⁰-90⁰ = 90⁰ болады. Көріп отырғанымыздай, оны табу қиын емес. Сыртқы бұрыш 180 градусқа дейін -180 мәнін қабылдай алады.