Maclaurin сериясы және кейбір функциялардың ыдырауы

Жоғары математика пәнінің студенті осы сериядағы конвергенция интервалына жататын кейбір электр тізбектерінің сомасы үздіксіз және шексіз бірнеше рет дифференцияланған функция екенін білуі керек. Сұрақ туындайды: f (x) - кез келген еркін функция күш сериясының сомасы деп айтуға бола ма? Яғни f-f f (x) қандай дәрежеде күштік сериямен ұсынылуы мүмкін? Мұндай мәселенің маңыздылығы шамамен f-x f (x) деген атауды бірқатар күштер сериясындағы, яғни многочастифтің бірнеше бірінші қосылыстарымен алмастыруға болады. Функцияны өте қарапайым өрнекте ауыстыру - многочленность - математикалық талдаудың белгілі бір мәселелерін шешуге ыңғайлы , атап айтқанда: интегралдарды шешуде, дифференциалдық теңдеулерді есептеуде және тағы басқалар.

Дәлелдеуге болады, кейбір функциялары f (x), мұнда туындыларды (n + 1) -шартқа дейін, оның ішінде соңғы бірін (α - R; X ₀ + R) кейбір нүктенің x = α, келесі формула жарамды:

Бұл формула танымал ғалым Брук Тейлордың атымен аталады. Алдыңғы қатарынан алынған серия Maclaurin сериясы деп аталады:

Maclaurin сериясына ыдырауға мүмкіндік беретін ереже:

1. Бірінші, екінші, үшінші ... тапсырмаларының туындыларын анықтаңыз.
2. X = 0 тең туындыларының теңдеуін есептеңіз.
3. Белгілі бір функция үшін Maclaurin сериясын жазыңыз, содан кейін оның конвергенция аралығын анықтаңыз.
4. Маклаурин формуласының қалған бөлігін анықтаңыз (-R, R)

R _n (x) -> 0 ретінде n → ∞ шексіздік. Онда бар болса, онда f (x) функциясы Maclaurin сериясының сомасына сәйкес келуі керек.

Қазір жеке функциялар үшін Maclaurin сериясын қарастырамыз.

1. Осылайша, бірінші f (x) = e ^x . Әрине, оның сипаттамалары бойынша, мұндай функцияда әртүрлі тапсырыстардың туындылары бар, f ^(k) (x) = e ^x , мұнда k барлық табиғи сандарға тең . Бізге x = 0 ауыстырамыз. F ^(k) (0) = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... аламыз. Жоғарыда айтылғандардың негізінде e ^x Мынадай көрінеді:

2. Функция үшін Maclaurin сериясы f (x) = sin x. Барлық белгісіздер үшін φ-функциясының дереу туындылары бар екендігін бірден анықтаймыз, f ^' (x) = cos x = sin (x + n / 2), f ^{' '} (x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f ^(k) (x) = sin (x + k * n / 2) мұндағы k кез келген табиғи санға тең. Яғни, қарапайым есептерді жасау арқылы f (x) = sin x үшін сериялардың формасы болады деп қорытынды жасауға болады:

3. Енді f (x) = cos x функциясын қарастырайық. Барлық белсіздер үшін ерікті тәртіптің туындылары бар және | f ^(k) (x) | = Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Кейін белгілі бір есептеулерді жүргізу үшін f (x) = cos x үшін бірқатар келесідей болады:

Осылайша, Maclaurin сериясына ыдырауға болатын ең маңызды функцияларды келтірдік, бірақ олар кейбір функциялар үшін Taylor сериясымен толтырылады. Қазір біз оларды тізімдейміз. Сондай-ақ, Тейлор мен Маклаурин сериясы жоғары математикада бірқатар шешімдер шеберханасының маңызды бөлігі болып табылады. Мәселен, Тейлор сериясы.

1. Бірінші - f (x) = ln (1 + x) функциясы үшін бірқатар. Алдыңғы мысалдардағыдай, f (x) = ln (1 + x) үшін Maclaurin сериясының жалпы формасын пайдаланып бірқатар қосуға болады. Дегенмен, бұл функция үшін Maclaurin сериясын әлдеқайда оңай алуға болады. Кейбір геометриялық сериялардың интегралдануы үшін біз осындай үлгідегі f (x) = ln (1 + x) үшін бірқатар аламыз:

Екіншіден, біздің мақалада ақырғы қорытынды болады f (x) = arctg x. Аралыққа [-1, 1] тиесілі x үшін, кеңейту жарамды:

Мұның бәрі. Бұл мақалада жоғары математикада, атап айтқанда, экономикалық және техникалық жоғары оқу орындарында Тейлор мен Маклуриннің ең көп қолданылатын сериясы қарастырылды.