Геометриялық прогрессияның. шешімімен мысалы

жолды қарастырайық.

7 28 112 448 1792 ...

Әбден анық алдыңғы дәл төрт реттен артық, оның элементтерін кез келген мән екенін көрсетеді. Сондықтан, бұл сериясы прогрессия құрайды.

геометриялық прогрессия сандар шексіз ретін, келесі саны белгілі бір санына көбейту жолымен жоғарыда алынған болып табылады, бұл оның негізгі функциясын шақырды. Бұл мынадай формула бойынша көрінеді.

_{А-дан Я +1 Z · Q =} , таңдалған элементтің саны - Z.

Тиісінше, Z ∈ Н.

9-сынып - мектеп геометриялық прогрессия зерттелген уақыты. Мысалдары тұжырымдамасын түсінуге көмектеседі:

0,25 0,125 0,0625 ...

18 6 2 ...

Осы формула негізінде, бөлгіш прогрессияның табуға болады:

Бірде-Q, немесе б _Z нөлге тең болуы мүмкін емес. Сондай-ақ, элементтерін әрбір нөмірлері қатарымен прогрессияның нөл болмауы керек.

Тиісінше, бірқатар келесі санын көру үшін, Q арқылы соңғысын көбейту.

Осы прогрессияның анықтау үшін, сіз оған бірінші элементін және знаменатель көрсетуіңіз керек. Осыдан кейін ол мынадай мүшелері мен олардың сомасының кез келген табуға болады.

түрлері

Q және _{1 қарай,} осы прогрессияның бірнеше түрге бөлінеді:

• геометриялық прогрессияның әрбір кейінгі элементі бар арттыру - Егер _{1 және} Q бір, содан кейін ретпен артық. Мысалдары оның төменде берілген.

Мысал: ₁ = 3, Q = 2 - артық бірлігі, екі параметр.

Содан кейін сандар тізбегі ретінде жазуға болады:

3 6 12 24 48 ...

• Егер | Q | геометриялық прогрессия азайту - бір кем, яғни, ол, ұқсас шарттармен прогрессияның бөлу арқылы көбейту тең. Мысалдары оның төменде берілген.

Мысал: = 6 _1, Q = 1/3 - кем - _1, Q бір артық.

Содан кейін төмендегідей сандар тізбегі жазуға болады:

6 2 2/3 ... - кез келген элементі көп элементтер оны келесі, 3 рет болып табылады.

• Ауыспалы. Q <0, үнемі қарамастан ₁ айнымалы ретпен саны _{белгілері,} және кез келген ұлғайтудың немесе кемітудің жалпы элементтер болса.

Мысал: ₁ = -3, Q = -2 - екі нөлден кем болып табылады.

Содан кейін сандар тізбегі ретінде жазуға болады:

3, 6, -12, 24, ...

формула

ыңғайлы пайдалану үшін, формулалар көптеген геометриялық прогрессия бар:

• Формула Z-ші мерзімді. Ол алдыңғы сандарды есептеу жоқ нақты бірқатар элементі есептеу мүмкіндік береді.

Мысал: Q = 3, төртінші элементі прогрессия есептеу үшін қажетті = ₁ 4..

Шешім: а = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 = 4 ³ · 27 = 108.

• нөмірі тең бірінші элементтерін, сомасы Z. Ол _А-Я ретпен барлық элементтерін сомасын есептеу инклюзивті мүмкіндік береді.

≠ 0, осылайша, Q 1 емес, - (Q 1) бастап (1- Q), содан кейін знаменателе табылады.

Ескертпе: Q = 1 болса, онда прогрессияның шексіз санын қайталанатын бірқатар ұсынылған еді.

Сомасы экспонента мысалдар: = 2 _1, Q = -2. S _{5 есептеңіз.}

Шешім: S ₅ = 22 - есептеу формуласы.

• Сомасы, егер | Q | <1 және қашан Z шексіз ұмтылады.

Мысал: = _{2 1,} Q = 0,5. сомасын табу.

Шешім: S _Z = 2 х = 4

біз нұсқаулықта бірнеше мүшелерінің қосындысын есептеп болса, сіз оны шынында да төрт ұстанады деп көресіз.

S _Z = 1 2 + + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3.9375 4

Кейбір қасиеттері:

• Тән сипат. мынадай жай-күйі болса Ол сандық сериясын берілген, содан кейін кез келген Z үшін ұстап - геометриялық прогрессия:

_А ² = A _{Z -1} · А _{Z + 1}

• Бұл олар элементі алшақ болса, кез келген санның квадрат, кез-келген берілген қатарда басқа екі сандардың квадраттарының Сонымен арқылы экспоненталық болып, сондай-ақ болып табылады.

² _Z = _{А - Т} ² ₊ A _Z + _Т ² мұндағы т - бұл сандар арасындағы қашықтық.

• элементтері Q есе ерекшеленеді.
• прогрессияның элементтерінің логарифмін, сондай-ақ олардың әрқайсысы одан белгілі бір санына алдыңғы қарағанда, прогрессия құрайды, бірақ арифметикалық, бұл болып табылады.

кейбір классикалық проблемалар мысалдары

жақсы сынып 9 шешім мысалдармен геометриялық прогрессия, көмектесе алады түсіну үшін.

• Ережелер мен шарттар: = 3 _{1, 3} = 48. Табу Q.

Шешім: алдыңғы Q астам әрбір қатарынан элементі уақыты. Ол бөлгіш арқылы басқа арқылы кейбір элементтерін білдіруге қажет.

Демек, = Q ² ₃ · ₁

алмастыратын кезде Q = 4

• Шарттары: = 6 _2, а = ₃ 12. есептеңіз S _6.

Шешім: Бұл әрекетті орындау үшін, ол формула ішіне Q, бірінші элементті және алмастырғыш табуға жеткілікті.

₃ = Q · _2, демек, Q = 2

₂ = Q · A _1, сондықтан а = ₁ 3

S = ₆ 189

• · = 10 A _1, Q = -2. прогрессияның төртінші элементін табу.

Шешім: ол бірінші және бөлгіш арқылы арқылы төртінші элементін білдіру үшін жеткілікті болып табылады.

₄ ³ = Q · а = ₁ -80

Қолдану мысал:

• Банк клиент жыл сайын негізгі сомасына клиенттің бірақ оның 6% қосылады, оған сәйкес 10000 рубль, қосындысын үлес қосты. 4 жылдан кейін шотында қанша ақша тұрады?

Шешім: 10 мың рубльге тең бастапқы сома. Сондықтан, шотында инвестициялар кейін бір жыл = 10000 10000 + 10000 тең сома · 0,06 болады · 1,06

төмендегідей Тиісінше, тіпті бір жылдан кейін шотта сома білдірді болады:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Яғни, сома 1,06 есеге өсті жыл сайын болып табылады. Демек, 4 жылдан кейін шотының нөмірін табу үшін, ол 10 мың тең бірінші элементін беріледі төртінші элементі прогрессия, және 1,06 тең бөлгішін табу үшін жеткілікті.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

сомасына есептеу проблемаларды мысалдары:

геометриялық прогрессия пайдаланып, әр түрлі мәселелері. төмендегідей соманы табу үлгі болуы мүмкін:

= 4 _1, Q = 2, S _{5 есептеу.}

Шешім: есептеу үшін барлық қажетті деректер ғана формула оларды алмастыруға, белгілі.

S ₅ = 124

• = 6 _2, а = ₃ 18. алғашқы алты элементтерінің қосындысын есептеңіз.

шешім:

Геом. алдыңғы Q есе артық келесі үлкен әрбір элементтің прогресс, бұл сіз элемент ₁ және бөлгіш Q білу қажет сомасын есептеу үшін, болып табылады.

₂ · Q = ₃

Q = 3

Сол сияқты, _{1, 2} және білуші Q табу керек.

₁ · Q = ₂

₁ = 2

Ал содан кейін ол формула соманы белгілі деректерді алмастыруға жеткілікті.

S ₆ = 728.