Гармоникалық тербелістердің теңдеуі және осцилляциялық процестердің табиғатын зерттеудегі маңызы

Барлық гармоникалық тербелістер математикалық өрнекке ие. Олардың қасиеттері тригонометриялық теңдеулер жиынтығын сипаттайды, оның күрделілігі ауытқу процесінің өзі күрделілігімен, жүйенің қасиеттерімен және олар пайда болатын ортаны анықтайды, яғни тербеліс процесіне әсер ететін сыртқы факторлар.

Мысалы, механикада гармоникалық тербеліс - бұл қозғалыс:

- сызықты табиғат;

- біркелкі емес;

- синусоидальды немесе косинус траекториясында орын алатын және уақытқа байланысты жеке дененің қозғалысы.

Осы қасиеттерге сүйене отырып, гармоникалық тербелістер теңдеуін келтіре аламыз:

X = A cos ωt немесе x = A sin ωt формасы, мұнда x - координаталық мән, А - ауытқу амплитудасы және ω - коэффициент.

Гармоникалық тербелістердің мұндай теңдеуі кинематика мен механикада қарастырылған барлық гармоникалық тербелістер үшін маңызды болып табылады.

Бұл формулада тригонометриялық функцияның белгісінің астында тұрған индекс фаза деп аталады және берілген амплитудадағы нақты уақыт кезіндегі тербелетін материалдың орнын анықтайды. Циклдық тербелістерді қарастырған кезде бұл көрсеткіш 2н, бұл уақыт цикліндегі механикалық тербелістердің санын көрсетеді және w арқылы белгіленеді. Бұл жағдайда гармоникалық тербеліс теңдеуі оны циклдік (айналымдық) жиіліктің көрсеткіші ретінде көрсетеді.

Біз қарастырған гармоникалық тербелістердің теңдеуі бірқатар факторларға байланысты түрлі формаларды қабылдай алады. Мысалы, мұнда опция бар. Еркін гармоникалық тербелістердің дифференциалдық теңдеуін қарастыру үшін, олардың барлығының әлсіреуі бар екенін ескеру керек. Түрлі тербелістерде бұл құбылыс әр түрлі жолдармен көрінеді: қозғалатын денені тоқтату, электр жүйесінде сәулеленуді тоқтату. Вибротикалық потенциалдың төмендеуін көрсететін қарапайым мысал оның жылу энергиясына айналуы болып табылады.

Қарастырылып отырған теңдеудің формасы бар: d²s / dt² + 2β x ds / dt + ω²s = 0. Бұл формулада s - осы немесе осы жүйенің қасиеттерін сипаттайтын тербеліс санының мәні, β - атерлеу коэффициентін көрсететін тұрақты, ω - циклдік жиілік.

Мұндай формуланы қолдану бір жүйенің сызықтық жүйелеріндегі тербеліс процестерінің сипаттамасын бір көзқарасқа жақындауға, сондай-ақ, ғылыми және тәжірибелік деңгейде тербеліс процестерін жобалауға және модельдеуге мүмкіндік береді.

Мысалы, олардың көріністерінің соңғы сатысында демпфирлік тербелістер көп үйлесімді емес, яғни олар үшін жиілік пен кезеңнің сандары жай ғана мағынасыз болып, формулада көрінбейді.

Гармоникалық тербелістерді классикалық зерттеу әдісі гармоникалық осциллятор. Гармоникалық тербелістердің осындай дифференциалдық теңдеуін сипаттайтын ең қарапайым формада: ds / dt + ω²s = 0. Бірақ тербеліс процестерінің әртүрлілігі табиғи түрде көптеген осцилляторлардың бар болуына әкеледі. Біз олардың негізгі түрлерін:

- Көктемгі осциллятор - серпімді көктемде суспензияланған белгілі бір массасы бар кәдімгі жүк. Ол формула бойынша сипатталған гармоникалық типтегі тербеліс қозғалыстарын орындайды F = - kx.

- физикалық осциллятор (маятник) - белгілі бір күштің әсерінен статикалық ось айналасында қозғалатын қатты дене;

- математикалық маятникті (табиғатта ешқашан болмайды). Бұл қатаң, жеңіл салмақты жіпке тоқтатылған белгілі бір массасы бар дірілдейтін физикалық денені қамтитын жүйенің мінсіз үлгісі.