Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі. Сызықты алгебралық теңдеулер біртекті жүйесі

Мектепте, әрқайсымыз, әрине, теңдеулер жүйесін теңдеуін зерттеді және. Бірақ көп емес адамдар оларды шешу үшін бірнеше жолдары бар екенін білеміз. Бүгін біз астам екі теңдеулер тұрады сызықтық алгебралық теңдеулер, жүйесін шешу үшін дәл барлық әдістері көресіз.

әңгіме

Бүгін біз теңдеулер және олардың жүйелерін шешу өнері ежелгі Бабыл мен Мысырдың пайда екенін білеміз. Алайда, олардың таныс түрінде теңдік ағылшын математигі жазба арқылы 1556 жылы енгізілді теңдік белгісімен «=», пайда болған соң бізге пайда болды. Айтпақшы, бұл таңба себеппен таңдалды: ол екі параллель тең сегменттерді білдіреді. Шынында да, теңдік үздік үлгісі ойлап емес.

қазіргі заманғы әріппен және белгісіз дәрежеде нышандары негізін қалаушы, француз математигі Франсуа Вьетнамда. Алайда, оның белгіленуі бүгінгі күні айтарлықтай ерекшеленеді. (. Лат «quadratus»), мысалы, ол хат Q тағайындаған белгісіз санының шаршы, Ал текше - әрпі C (лат «Cubus».). Бұл рәміздер қазір ыңғайсыз көрінуі, бірақ содан кейін ол сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін жазу ең интуитивті тәсілі болды.

Алайда, шешу басым әдістерін бір кемшілігі математиктер ғана оң тамыры саналады деп еді. Мүмкін, бұл теріс мәндер кез келген практикалық қолдану жоқ, бұл шын мәнінде байланысты. Бір жолы немесе басқа, бірақ бірінші қарастырылуы үшін теріс тамыры 16 ғасырда итальяндық математика Никколо Tartaglia, Gerolamo Cardano және Рафаэль Bombelli кейін басталды. Қазіргі заманғы көрініс, шешу негізгі әдісі квадрат теңдеулерді (дискриминант арқылы) және Ньютон Декарта шығармалары арқылы ғана 17 ғасырда құрылды.

18-ші ғасырдың ортасында швейцариялық математик Габриэль Крамер оңай сызықтық теңдеулер жүйесін шешуді жасауға жаңа жолын тапты. Бұл әдіс кейінірек оған кейін, және біз оны пайдалануға осы күнге дейін аталды. Бірақ сәл кейінірек Крамер ның сөйлесу әдісі бойынша, бірақ қазір біз жүйесінен бөлек сызықтық теңдеулер және олардың шешімдерін талқылайды.

сызықтық теңдеулер

Сызықтық теңдеулер - айнымалы (лар) бар қарапайым теңдеу. Олар алгебралық тиесілі. Сызықтық теңдеулер бір ₁ * х ₁ + _{2 *} х ₂ + ... және _N * х _N = B: төмендегідей жалпы түрінде жазылған. біз жүйелер мен матрица дайындауға қажет осы нысанда ұсыну.

Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі

Осы мерзім анықтау болып табылады: жалпы белгісіз және жалпы шешімі бар теңдеулер жиынтығы. Әдетте, мектепте барлық екі немесе тіпті үш теңдеулер бар жүйесін шешілді. Бірақ төрт немесе одан да көп компоненттері бар жүйелер бар. ның сондықтан кейінірек ол шешу ыңғайлы болды, оларды жазып қалай бірінші көрейік. т.б. 1,2,3 және: барлық айнымалылар тиісті индексімен X ретінде жазылған болса Біріншіден, сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі жақсы көрінеді. ₁ * х ₁ + _{2 *} х ₂ + ... және _N * х _N = B: Екіншіден, канондық формаға барлық теңдеулерді әкелуі тиіс.

барлық осы қадамдар кейін, біз сызықтық теңдеулер жүйесін шешуді қалай табуға сізге айтуға бастау алады. бұл үшін өте ыңғайлы матрицада келеді.

матрица

Matrix - жолдар мен бағандар тұрады үстел, және оның элементтері, олардың қиылысында тұр. Бұл белгілі бір мән немесе айнымалы болуы мүмкін. Көп жағдайларда, индекстерінің (мысалы, ₁₁ немесе ақ ₂₃₎ астына орналасқан элементтерін тағайындауға. баған - бірінші индекс жол нөмірін және екінші көрсетеді. Жоғарыда және кез келген басқа да математикалық элементі ретінде матрицасы жоғарыда түрлі операцияларды орындауға болады. Осылайша, сіз:

1) Азайту және кестенің сол өлшемін қосыңыз.

2) кез келген нөмірге немесе вектор матрицаны көбейту.

3) Transpose: бағандарда матрица сызықтар түрлендіруге, және бағаналар - желісі.

жолдар саны олардың біреуінің бағандар түрлі саны тең 4) егер, матрицалық көбейту.

олар болашақта бізге пайдалы болып, егжей-тегжейлі осы әдістерді барлық талқылау. матрицасы алу және қосу өте оңай. біз сол мөлшері матрица қабылдайды бастап, бір үстел әрбір элементі әрбір басқа элементке байланысты. Осылайша, біз (олар матрица бірдей жерге тұрған бұл маңызды болып табылады) (шегерілетін) осы элементтердің екі қосыңыз. матрицаның немесе векторының санына көбейтілген кезде сіз жай ғана сол санының (немесе вектор) арқылы матрицаның әрбір элементін көбейту. Көшіру - өте қызықты процесс. планшет немесе телефон бағдарын өзгерту кезінде, мысалы, нақты өмірде оны көру үшін кейде өте қызықты. жұмыс үстеліндегі белгішелер матрицалық болып табылады, және жағдайын өзгеруіне, ол ауыстыру және кең болып, бірақ биіктігі азаяды.

АҚШ-тың сияқты көп процесін қарастырайық Матрицалық көбейту. Ол бізге әңгімелеп берді, сондай-ақ пайдалы емес, бірақ ол әлі де пайдалы болып табылады хабардар болуы да. екі матрицаның бір ғана кестедегі бағандар саны басқа жолдар санына тең жағдайда болуы мүмкін көбейтіледі. Енді бір матрицалық желісі элементтерін және тиісті бағанда басқа да элементтерін қабылдайды. оларды бір-бірімен көбейту, содан кейін сомасы (: A * B _{11 12} + ₁₂ * В және ₂₂ яғни, мысалы, элементтер ₁₁ және ₁₂ және _12-В және ₂₂ В өнімі тең _{болады).} Осылайша, бір үстел элемент, және оған ұқсас тәсілі одан әрі толтырылады.

Енді біз сызықтық теңдеулер жүйесін шешу үшін қалай қарастыру бастауға болады.

Гаусс

Бұл тақырып мектепте өтеді бастады. Біз өте жақсы «екі сызықтық теңдеулер жүйесін» тұжырымдамасын білу және оларды шеше білу. Ал егер теңдеулер саны екіден артық болып табылады? Бұл бізге көмектеседі Гаусс әдісі.

Сіз жүйесінің матрицасын жасау Әрине, егер бұл әдіс, пайдалануға ыңғайлы. Бірақ сіз оны түрлендіру мен өз туралы шешім мүмкін емес.

Сондықтан, сызықтық теңдеулер Гаусс жүйесі арқылы, оны қалай шешу? Айтпақшы, тіпті осы әдіс, бірақ мен оған атындағы, бірақ көне заманнан оны ашты. Гаусс, сайып келгенде, нысанын эшелонына жиынтығында әкеп теңдеулер отырып жүзеге асырылады операция бар. белгісіз бір тасқын Яғни, сіз соңғы теңдеу бірінші түскен (дұрыс орналастыру болса) жоғарыдан-төмен керек болып табылады. - екінші үш белгісіз, - үшінші екі - бірінші: Басқаша айтқанда, біз, айталық, үш теңдеулерді алдым деп, көз жеткізу үшін қажет. Содан кейін, соңғы теңдеуден, біз екінші немесе бірінші теңдеуге оның құнының орнына, бірінші белгісіз тауып, және одан әрі қалған екі айнымалылар табыңыз.

Крамер ережесі

Бұл техниканың дамуы үшін қосымша дағдыларын, матрицаның азайтуды, сондай-ақ детерминант таба алады қажеттігін игеруге аса маңызды болып табылады. Сондықтан, сіз ыңғайсыз болса, бұл барлық немесе ол үйрену және оқытылған болуы қажет қалай білмеймін. Істеп

Бұл әдістің мәні, және қалай сызықтық теңдеулер Крамер жүйесін алуға, мұны қандай? Ол өте қарапайым. Біз сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін коэффициенттері (әрдайым дерлік) сандар матрицасын құру керек. Бұл әрекетті орындау үшін, жай ғана белгісіз санын алып, және біз олар жүйесінде жазылған реті кестені ұйымдастырады. «-» саны белгісі болып табылады бұрын болса, онда біз теріс коэффициенті жазу. Сондықтан, біз (- коэффициенттері бар барлық белгісіз теңдеу оң ғана саны және сол кезде канондық түрге дейін қысқартылады деп әрине,) тең белгісінен кейін бірқатар, оның ішінде емес белгісіз коэффициенттерді бірінші матрицасын, жасады. әрбір айнымалы үшін бір - Содан кейін сіз бірнеше матрица жасау қажет. Осы мақсат үшін, бірінші матрицада теңдік белгісімен кейін бір баған бойынша коэффициенттермен әрбір баған нөмірлерін ауыстырылады. Осылайша, біз бірнеше матрица алуға, содан кейін олардың детерминант табыңыз.

біз жіктеуіштер табылған соң, ол шағын ғой. Біз бастапқы матрица, және әр түрлі айнымалы сәйкес бірнеше алынған матрица, бар. жүйелік шешім алу үшін, біз кестенің бастапқы анықтауышы туралы нәтижесінде кестенің аны бөліңіз. нәтижесінде саны Бір айнымалы мәні болып табылады. Сол сияқты, біз барлық белгісіз таба.

басқа да әдістері

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешуді алу мақсатында бірнеше әдістері бар. Мысалы квадраттық теңдеулер жүйесінің шешімдерін табу, сондай-ақ матрица пайдалану жатады үшін пайдаланылатын, деп аталатын Гаусс-Иордания әдісі. Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешу үшін Jacobi тәсілі, сондай-ақ бар. Ол оңай барлық компьютерлерге бейімделеді және есептеу пайдаланылады.

күрделі жағдайлары

теңдеулер саны айнымалы санынан кем болса, күрделілігі, әдетте орын алады. Сонда біз, әрине жүйесі (яғни, жоқ тамыры бар) қайшы болып табылады, немесе оның шешімдерінің саны шексіз ұмтылады деп, немесе айтуға болады. біз екінші істі болса - бұл Сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімінің жазу керек. Ол кем дегенде бір айнымалыны қамтиды.

қорытынды

Мұнда біз соңына дейін келіп. Қорытынды: Біз не жүйе матрицасы түсіну керек, сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін табу үшін үйренді. Сонымен қатар, біз басқа параметрлерді қарады. Гаусс жою және: Біз сызықтық теңдеулер жүйесін шешу жолын түсіндік Крамер ережесі. Біз қиын жағдайларда және шешімдерді табу басқа жолдары туралы айтып берді.

Шын мәнінде, бұл мәселе әлдеқайда кең, және сіз жақсы түсіну келсе, біз мамандандырылған әдебиет толығырақ кеңес береміз.